6. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 25.11.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

17. Aufgabe: G_{1} und G_{2} seien Geraden mit den Parameterdarstellungen

G_{i} = { x⃗ | x⃗ = a⃗_{i} + tb⃗_{i} , t ∈ IR } (i = 1, 2) ,

wobei die Richtungsvektoren b⃗_{1} und b⃗_{2} vom Nullvektor verschieden sein sollen. Es gelte b⃗_{1} ∥ b⃗_{2} und G_{1} ∩ G_{2} ≠ ∅. Beweise: G_{1} = G_{2} . Hinweis: Die Gleichheit der beiden Geraden bedeutet die Gleichheit der entsprechenden Punktmengen, es ist also die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen! (4)

18. Aufgabe: v⃗ und w⃗ seien beliebige Vektoren, und es sei r ∈ IR beliebig . Beweise:

a) (rv⃗) × w⃗ = r(v⃗ × w⃗) b) v⃗ × (rw⃗) = r(v⃗ × w⃗) .

Hinweis: Achte auf Sonderfälle ! (3)

19. Aufgabe: Die Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} seien linear unabhängig. Bestimme die Menge der gemeinsamen Punkte der Ebenen E_{1} und E_{2} , die in der unten angegebenen Parameterform definiert sind. Wenn möglich, ist eine Parameterdarstellung der Schnittmenge anzugegeben.

\begin{matrix}E_{1} : & x⃗ = −v⃗_{2} + r_{1}v⃗_{1} + r_{2}(v⃗_{1} + 3v⃗_{2} + 7v⃗_{3}) (r_{1}, r_{2} ∈ IR) \\ E_{2} : & x⃗ = v⃗_{3} + s_{1}(2v⃗_{1} + v⃗_{2} + 4v⃗_{3}) + s_{2}(\frac{4}{7} v⃗_{1} + 2v⃗_{2}) (s_{1}, s_{2} ∈ IR) \end{matrix}

Hinweis: Rechne mit rationalen Zahlen exakt und benutze keine Dezimalbrüche ! (3)

20. Aufgabe: a⃗, b⃗, c⃗ seien linear unabhängige Vektoren. Für jedes λ ∈ IR sei eine Gerade G_{λ} : x⃗ = a⃗ + r(b⃗ − λc⃗) (r ∈ IR) in Parameterform gegeben.

a) Sei E die Ebene mit der Parameterdarstellung x⃗ = 4b⃗ + s(a⃗ + c⃗) + t(a⃗ − c⃗) (s, t ∈ IR) . Beschreibe die Menge S der Schnittpunkte von E mit G_{λ} in Abhängigkeit von λ. Gib eine Parameterdarstellung von S an.

b) Sei F die Ebene x⃗ = c⃗ + s(a⃗ + b⃗) + t(a⃗ − \underline{\underline{b⃗}}) (s, t ∈ IR) . Gibt es für die Menge T der Schnittpunkte von F mit G_{λ} (λ ∈ IR) eine Darstellung wie in a) ?

Hinweis: Alls Antworten sind natürlich zu begründen ! (4)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris