13. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 27.1.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

44. Aufgabe: Zeige:

a) Seien a, b Vektoren in IR^{2}, wobei a = ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) und b = ( \begin{matrix}β_{1} \\ β_{2} \end{matrix} ). a und b sind linear unabhängig genau dann, wenn gilt: α_{1}β_{2} − α_{2}β_{1} ≠ 0.

b) Jede Teilmenge von IR^{2} mit 3 Elementen ist linear abhängig.

c) Jede Basis von IR^{2} hat genau zwei Elemente. (4)

45. Aufgabe: Sei V ein Vektorraum und {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V. Für i, j ∈ {1, …, n} mit i < j definiere w_{ij} := v_{i} − v_{j}. Bestimme eine Basis des von {w_{ij} | i < j } erzeugten Untervektorraumes von V. Ergänze diese Basis zu einer Basis von V. (4)

46. Aufgabe: Die Matrix A ∈ M_{m,n}(IR) habe die Spalten a_{1}, …, a_{n} ∈ IR^{m}, und sei b ∈ IR^{m}. Beweise:

a) Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn gilt: b ∈ L_{IR}(a_{1}, …, a_{n}).

b) Die Vektoren a_{1}, …, a_{n} bilden genau dann ein Erzeugendensystem von IR^{m}, wenn das lineare Gleichungssystem Ax = b für jedes b ∈ IR^{m} lösbar ist.

c) Die Vektoren a_{1}, …, a_{n} sind genau dann linear unabhängig, wenn das homogene Gleichungssystem Ax = 0_{m} eindeutig lösbar ist. (5)

47. Aufgabe: Sei V = A(IR, IR) der IR-Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR. Für die Teilmengen U_{1} := {f ∈ V | f(−x) = −f(x) für alle x ∈ IR} und U_{2} := {f ∈ V | f(−x) = f(x) für alle x ∈ IR} zeige:

a) U_{1} und U_{2} sind Untervektorräume von V.

b) U_{1} + U_{2} = V, U_{1} ∩ U_{2} = {0}. (3)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: Fr, 11.2.2005, 9.00–12.00 Uhr